Question

已知：如图，⊙O₁与⊙O₂外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连接AC、BC．设⊙O₁的半径为R，⊙O₂的半径为r，若tan∠ABC=，则 的值为（ ）

A．
B．
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：根据切线长定理先证明∠ACB=90°，得直角三角形ABC；再由tan∠ABC==，得两圆弦长的比；进一步求半径的比．
解答：解：如图，连接O₂B，O₁A，过点C作两圆的公切线CF，交于AB于点F，作O₁E⊥AC，O₂D⊥BC，
由垂径定理可证得点E，点D分别是AC，BC的中点，
由弦切角定理知，
∠ABC=∠FCB=∠BO₂C，∠BAC=∠FCA=∠AO₁C，
∵AO₁∥O₂B，
∴∠AO₁C+∠BO₂C=180°，
∴∠FCB+∠FCA=∠ACB=90°，
即△ACB是直角三角形，
∴∠ABC=∠BO₂D=∠ACO₁，
设∠ABC=∠BO₂D=∠ACO₁=β，
则有sinβ=，cosβ=，
∴tanβ=•=•，
∴（tanβ）²==2．
故选C．
点评：本题综合性较强，综合了圆的有关知识，所以学生所学的知识要系统起来，不可单一．