Question

9．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P为BC的中点，且$\overrightarrow{DQ}$=λ$\overrightarrow{DC}$（λ∈R）．
（Ⅰ）试用$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AD}$表示$\overrightarrow{AP}$；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{DC}$=4时，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平面向量的基本定理即可用$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AD}$表示$\overrightarrow{AP}$；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{DC}$=4时，利用向量数量积的公式建立方程关系即可求λ的值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$．
（Ⅱ）在矩形ABCD中AD⊥DC，
则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$=0，
∵$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{DC}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DQ}$）•$\overrightarrow{DC}$=（$\overrightarrow{AD}$+λ$\overrightarrow{DC}$）•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{DC}$+λ•$\overrightarrow{DC}$²=16λ=4，
∴λ=$\frac{1}{4}$

点评 本题主要考查向量基本定理的应用以及向量数量积公式的应用，比较基础．