Question

20．已知函数f（x）=cos⁴x-sin⁴x．下列结论正确的是（　　）

• A． 函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是减函数
• B． 函数f（x）的图象关于原点对称
• C． f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$
• D． f（x）的值域为[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 利用平方关系、二倍角的余弦公式化简解析式，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得2x∈[0，π]，利用余弦函数的单调性判断A；由余弦函数的奇偶性、图象的对称性判断B；由周期公式求出函数f（x）的周期可判断C；由余弦函数的值域判断D．

解答 解：由题意得，f（x）=cos⁴x-sin⁴x=cos²x-sin²x=cos2x，
A、由x∈[0，$\frac{π}{2}$]得2x∈[0，π]，则f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是减函数，A正确；
B、函数f（x）=cos2x是偶函数，图象关于y轴对称，B不正确；
C、函数f（x）=cos2x的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，C不正确；
D、由-1≤cos2x≤1得，f（x）=cos2x的值域是[-1，1]，D不正确，
故选：A．

点评 本题考查余弦函数的单调性、对称性以及值域，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．