Question

12．（1）用分析法证明：$\sqrt{6}$+$\sqrt{5}$$＞2\sqrt{2}$$+\sqrt{3}$；
（2）用反证法证明：$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$不可能成等差数列．

Answer 1

分析 （1）寻找使不等式成立的充分条件，要是不等式成立，只要11+2$\sqrt{6}$•$\sqrt{5}$＞11+2$•2\sqrt{2}•\sqrt{3}$，只要证$\sqrt{30}$＞$\sqrt{24}$，即证30＞24；
（2）假设$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$这三个数成等差数列，则由等差数列的性质可得2$\sqrt{5}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，能推出6=12（矛盾 ）．

解答 证明：（1）要证 $\sqrt{6}$+$\sqrt{5}$$＞2\sqrt{2}$$+\sqrt{3}$，只要证11+2$\sqrt{6}$•$\sqrt{5}$＞11+2$•2\sqrt{2}•\sqrt{3}$，
只要证$\sqrt{30}$＞$\sqrt{24}$，即证30＞24． 
而30＞24显然成立，故原不等式成立．
（2）假设：$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$这三个数成等差数列，则由等差数列的性质可得2$\sqrt{5}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴20=2+6+2 $\sqrt{12}$，∴12=2 $\sqrt{12}$，∴6=12（矛盾），故假设不成立，
∴$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$这三个数不可能成等差数列．

点评 本题考查用分析法证明不等式，反证法证明不等式，用反证法证明不等式的关键是推出矛盾．分析法证明不等式关键是寻找使不等式成立的充分条件．