Question

将正△ABC分割成n²(n≥2，n∈N)个全等的小正三角形(图乙，图丙分别给出了n＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别成等差数列，若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)＝2，求f(3)和f(n)．

Answer 1

解析：当n＝3时，如题图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知
a＋b＋c＝1，x₁＋x₂＝a＋b，y₁＋y₂＝b＋c，z₁＋z₂＝c＋a.
x₁＋x₂＋y₁＋y₂＋z₁＋z₂＝2(a＋b＋c)＝2，
2g＝x₁＋y₂＝x₂＋z₁＝y₁＋z₂.
6g＝x₁＋x₂＋y₁＋y₂＋z₁＋z₂＝2(a＋b＋c)＝2.
即g＝而f(3)＝a＋b＋c＋x₁＋x₂＋y₁＋y₂＋z₁＋z₂＋g＝
1＋2＋＝.
进一步可求得f(4)＝5.由上知f(1)中有三个数，f(2)中有6个数，f(3)中共有10个数相加，f(4)中有15个数相加…，若f(n－1)中有a_n－1(n＞1)个数相加，可得f(n)中有(a_n－1＋n＋1)个数相加，且由f(1)＝1＝，f(2)＝＝＝f(1)＋，f(3)＝＝f(2)＋，f(4)＝5＝f(3)＋，…
可得f(n)＝f(n－1)＋，所以
f(n)＝f(n－1)＋＝f(n－2)＋＋＝…
＝＋＋＋＋f(1)
＝＋＋＋＋＋＝(n＋1)(n＋2)．

略