Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=kcⁿ-k(其中c,k为常数),且a₂=4,a₆=8a₃.
(1)求a_n;
(2)求数列{na_n}的前n项和T_n.

Answer 1

(1) a_n=2ⁿ    (2) T_n=(n-1)2ⁿ⁺¹+2

解:(1)由S_n=kcⁿ-k,
得a_n=S_n-S_n-1=kcⁿ-kc^n-1(n≥2),
由a₂=4,a₆=8a₃,
得kc(c-1)=4,kc⁵(c-1)=8kc²(c-1),
解得
所以a₁=S₁=2,a_n=kcⁿ-kc^n-1=2ⁿ(n≥2),
于是a_n=2ⁿ.
(2)T_n=ia_i=i·2ⁱ,
即T_n=2+2·2²+3·2³+4·2⁴+…+n·2ⁿ,
T_n=2T_n-T_n=-2-2²-2³-2⁴-…-2ⁿ+n·2ⁿ⁺¹
=-2ⁿ⁺¹+2+n·2ⁿ⁺¹
=(n-1)2ⁿ⁺¹+2.