Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）若a=1，解不等式f（x）≥2；
（2）若a＞1，?x∈R，f（x）+|x-1|≥2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把要解的不等式等价转化为与之等价绝对值不等式，再求出此不等式的解集，即得所求．
（2）令函数F（x）=f（x）+|x-1|，先求出函数F（x）的最小值等于a-1，根据题意得a-1≥2，求得a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥2，即2|x-1|≥2，
∴|x-1|≥1，
解得 x≤0或x≥2，
故原不等式的解集为 {x|x≤0或x≥2}．
（2）令函数F（x）=f（x）+|x-1|=2|x-1|+|x-a|，
则F（x）=

-3x+2+a，x＜1 x-2+a，1≤x＜a 3x-2-a，x≥a

，
画出它的图象，如图所示，由图可知，
故当x=1时，函数F（x）有最小值F（1）等于a-1，
由题意得a-1≥2得a≥3，
则实数a的取值范围[3，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，体现了分类讨论与等价转化的数学思想，属于中档题．