Question

2．设函数f（x）=e^x-a（x+1）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（1）若f'（0）=0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=f（x）+$\frac{a}{e^x}$，且A（x₁，g（x₁）），B（x₂，g（x₂））（x₁＜x₂）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，恒有g（x₂）-g（x₁）＞m（x₂-x₁）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，根据f'（0）=0，求出a的值，从而求出函数的单调区间即可；
（2）得到g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁，令函数F（x）=g（x）-mx，则F（x）在R上单调递增，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-a（x+1），
∴f′（x）=e^x-a，
∵f′（0）=1-a=0，∴a=1，∴f′（x）=e^x-1，
由f′（x）=e^x-1＞0，得x＞0；由由f′（x）=e^x-1＜0，得x＜0，
∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（-∞，0）． 
（2）由$\frac{{g（{x_2}）-g（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞m，（x₁＜x₂）变形得：g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁，
令函数F（x）=g（x）-mx，则F（x）在R上单调递增，
∴F′（x）=g′（x）-m≥0，即m≤g′（x）在R上恒成立，
$g'（x）={e^x}-a-\frac{a}{e^x}≥2\sqrt{{e^x}•（-\frac{a}{e^x}）}-a=-a+2\sqrt{-a}={（\sqrt{-a}+1）^2}-1≥3$，
故m≤3．
∴实数m的取值范围是（-∞，3]．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．