Question

14．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，$\frac{cosA-2cosC}{cosB}=\frac{2c-a}{b}$．
（1）若C=A+$\frac{π}{3}$，求角A的大小；
（2）若cosB=$\frac{1}{4}$，△ABC的周长为5，求b的值．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理和三角形的内角和定理可得角A；
（2）根据余弦定理求出a，b，c的关系，根据，△ABC的周长为5，即可求b的值．

解答 解：由$\frac{cosA-2cosC}{cosB}=\frac{2c-a}{b}$．
可得：$\frac{cosA-2cosC}{cosB}=\frac{2sinC-sinA}{sinB}$
?cosAsinB-2sinBcosC=2cosBsinC-sinAcosB
?cosAsinB+sinAcosB=2cosBsinC+2sinBcosC
?sin（A+B）=2sin（B+C）
?sinC=2sinA，即c=2a
（1）∵C=A+$\frac{π}{3}$，
∴sin（A+$\frac{π}{3}$）=2sinA
可得：$\frac{1}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=2sinA
$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{6}$）=0，
∵△ABC的三个内角A，B，C．
∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{4}$，△ABC的周长为5=a+b+c
∵c=2a
∴$\left\{\begin{array}{l}{5=b+3a}\\{4{a}^{2}-{b}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得：b=2．
故b的值为2．

点评 本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．