Question

10．已知函数f（x）=e^x-k-x，（x∈R）．
（1）当k=0时，若函数f（x）≥m在R上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）试判断当k＞1时，函数f（x）在（k，2k）内是否存在两点；若存在，求零点个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数f（x）的最小值，从而求出m的范围即可；
（2）求出f（x）的导数，计算f（k），f（2k）的值，根据函数f（x）的单调性，令h（k）=e^k-2k，结合零点存在定理判断即可．

解答 解：（1）当k=0时，f（x）=e^x-x，f'（x）=e^x-1，
令f'（x）=0，得x=0，当x＜0时，f'（x）＜0；当x＞0时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．
∴f（x）_min=f（0）=1，∴m≤1，
∴实数m的取值范围是（-∞，1]．
（2）当k＞1时，f（x）=e^x-k-x，f'（x）=e^x-k-1＞0在（k，2k）上恒成立．
∴f（x）在（k，2k）上单调递增，
又f（k）=e^k-k-k=1-k＜0，f（2k）=e^2k-k-2k=e^k-2k，
令h（k）=e^k-2k，
∵h'（k）=e^k-2＞0，∴h（k）在k＞1时单调递增，
∴h（k）＞e-2＞0，即f（2k）＞0，
∴由零点存在定理知，函数f（x）在（k，2k）内存在唯一零点．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．