Question

6．如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，给出以下结论：
①异面直线A₁B₁与CD₁所成的角为45°；
②D₁C⊥AC₁；
③在棱DC上存在一点E，使D₁E∥平面A₁BD，这个点为DC的中点；
④在棱AA₁上不存在点F，使三棱锥F-BCD的体积为直 四棱柱体积的$\frac{1}{5}$．
其中正确的有①②③．

Answer 1

分析 直接利用已知条件推出异面直线所成的角判断①的正误；通过直线与平面的直线关系判断②的正误；通过直线与平面的平行判断③的正误；几何体的体积判断④的正误即可

解答 解：①由题意可知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，所以△DD₁C₁是等腰直角三角形，A₁B₁∥C₁D₁，异面直线A₁B₁与CD₁所成的角为45°，所以①正确．
②由题意可知，AD⊥平面DD₁C₁C，四边形DD₁C₁C是正方形，所以D₁C⊥DC₁，
可得D₁C⊥AC₁；所以②正确；

③在棱DC上存在一点E，使D₁E∥平面A₁BD，这个点为DC的中点，因为：
DC=DD₁=2AD=2AB，如图HG∥D₁E且HG=$\frac{1}{2}$D₁E，所以E为中点，所以③正确．
④设AB=1，则棱柱的体积为：$\frac{1}{2}$ （1+2）×1×1=$\frac{3}{2}$，
当F在A₁时，A₁-BCD的体积为：$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×2×1=$\frac{1}{3}$，
显然体积比为$\frac{2}{9}$＞$\frac{1}{5}$，
所以在棱AA₁上存在点F，使三棱锥F-BCD的体积为直四棱柱体积的$\frac{1}{5}$，所以④不正确．
正确结果有①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查棱柱的结构特征，几何体的体积的求法，直线与平面的位置关系的判断，考查空间想象能力计算能力