Question

（2012•贵州模拟）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），O是坐标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且|AB|=3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线x=ky+1与C交于相异两点M、N，且

OM

•

ON

=-

31

9

，求k．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆的焦点坐标，及|AB|=3，建立方程组，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线x=ky+1代入椭圆方程，消去x可得一元二次方程，利用韦达定理及向量条件，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意，

a2-b2=1 a2+b2=9

，∴a²=5，b²=4
∴椭圆C的方程为

x2

5

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）直线x=ky+1代入椭圆方程，消去x可得（4k²+5）y²+8ky-16=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=

-8k

4k2+5

，y₁y₂=

-16

4k2+5

∴x1x2=(ky1+1)(ky2+1)=k2y1y2+k(y1+y2)+1=

-20k2+5

4k2+5

∵

OM

•

ON

=-

31

9

∴

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=

-20k2-11

4k2+5

=-

31

9

∴k²=1，从而k=±1

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，考查韦达定理的运用，联立方程，正确运用韦达定理是关键．