Question

【题目】如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，，且与均为正三角形，为的中点，为重心.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析: （Ⅰ）连接与交于,连接.在梯形中,根据两平行边的比例,可得的比值,在中,由重心的性质,可得间的比值,两比值相等,则,再由线线平行去证明线面平行; （Ⅱ）根据所给条件可证,且求出的长.由,可将所求三棱锥的体转化为求三棱锥体积,再转化为三棱锥体积,又,只需求即可.

试题解析:（Ⅰ）方法一：连交于,连接.

由梯形，且，知

又为的中点，为的重心，∴

在中，,故//.

又平面, 平面,∴//平面.

方法二：过作交于,过作交于,连接,

为的重心，,,

又为梯形，,,

, ∴

又由所作，得// ，为平行四边形.

,面

方法三：过作// 交于,连接,

由为正三角形, 为的中点，为重心，

得，

又由梯形，，且，

知,即

∴在中，//，所以平面//平面

又平面，∴面

（Ⅱ） 方法一:由平面平面，与均为正三角形，为的中点

∴，，得平面，且

由（Ⅰ）知//平面，∴

又由梯形，，且，知

又为正三角形，得，∴，

得

∴三棱锥的体积为．

方法二: 由平面平面，与均为正三角形，为的中点

∴，，得平面，且

由，∴

而又为正三角形，得，得．

∴，∴三棱锥的体积为．