【题目】在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=4,AB=4 ,∠CDA=120°,点N在线段PB上,且PN=2.
(1)求证:BD⊥PC;
(2)求证:MN∥平面PDC;
(3)求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.
【答案】
(1)证明:∵△ABC是正三角形,M是AC中点,
∴BM⊥AC,即BD⊥AC,
又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,
又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,
∴BD⊥PC.
(2)证明:在正△ABC中,BM=6,
在△ACD中,∵M为AC中点,DM⊥AC,∴AD=CD,
∠ADC=120°,∴DM=2,
∴ = ,
在Rt△PAB中,PA=4,AB=4 ,PB=8.
∴ = = ,∴MN∥PD,
又MN平面PDC,PD平面平面PDC,
∴MN∥平面PDC.
(3)解:∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°,
∴AB⊥AD,以A为坐标原点,分别以AB、AD、AP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
∴B(4 ,0,0),C(2 ,6,0),D(0,4,0),P(0,0,4),
=(2 ,6,﹣4), =(4 ,0,﹣4),
由(2)知 =(4 ,﹣4,0)是平面PAC的法向量,
设平面PBC的一个法向量为 =(x,y,z),
则 ,即 ,取z=3,得 =( ),
设二面角A﹣PC﹣B的平面角为θ,
则cosθ= = = ,
∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为 .
【解析】(1)导出BD⊥AC,PA⊥BD,从而BD⊥平面PAC,由此能证明BD⊥PC.(2)推导出DM⊥AC,AD=CD,DM=2, = ,从而MN∥PD,由此能证明MN∥平面PDC.(3)以A为坐标原点,分别以AB、AD、AP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值.
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【题目】某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班学生成绩的中位数是83,乙班学生成绩的平均数是86,则x+y的值为( )
A.168
B.169
C.8
D.9
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB⊥CD,AD∥BC,AD=3,BC=2AB=2,E,F分别在BC,AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC.
(Ⅰ)若BE= ,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,且 ,使得CP∥平面ABEF?若存在,求出λ的值,若不存在,说明理由;
(Ⅱ)求三棱锥A﹣CDF的体积的最大值,并求此时二面角E﹣AC﹣F的余弦值.
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【题目】f(x)是定义在(0,+∞)上单调函数,且对x∈(0,+∞),都有f(f(x)﹣lnx)=e+1,则方程f(x)﹣f′(x)=e的实数解所在的区间是( )
A.(0, )
B.( ,1)
C.(1,e)
D.(e,3)
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【题目】已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点K,过点K作圆(x﹣5)2+y2=9的两条切线,切点为M,N,|MN|=3
(1)求抛物线E的方程;
(2)设A,B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点,且 (其中O为坐标原点).
①求证:直线AB必过定点,并求出该定点Q的坐标;
②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G,D两点,求四边形AGBD面积的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=2 sin cos ﹣2sin2 (ω>0)的最小正周期为3π.
(I)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,a<b<c, a=2csinA,并且f( A+ )= ,求cosB的值.
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【题目】如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AD=a,E为CD上任意一点.
(I)求证:B1E⊥AD1;
(Ⅱ)若CD= a,是否存在这样的E点,使得AD1与平面B1AE成45°的角?说明理由.
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