Question

10、比较2ⁿ与n²的大小（n∈N*）．

Answer 1

分析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明．

解答：解：当n=1时，2¹＞1²，
当n=2时，2²=2²，当n=3时，2³＜3²，
当n=4时，2⁴=4²，当n=5时，2⁵＞5²，
猜想：当n≥5时，2ⁿ＞n²．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=5时，2⁵＞5²成立．
（2）假设n=k（k∈N*，k≥5）时2^k＞k²，
那么2^k+1=2•2^k=2^k+2^k＞k²+（1+1）^k＞k²+C_k⁰+C_k¹+C_k^k-1=k²+2k+1=（k+1）²．
∴当n=k+1时，2ⁿ＞n²．
由（1）（2）可知，对n≥5的一切自然数2ⁿ＞n²都成立．
综上，得当n=1或n≥5时，2ⁿ＞n²；当n=2，4时，2ⁿ=n²；当n=3时，2ⁿ＜n²．

点评：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩．