Question

比较2ⁿ与n²的大小(n∈N^*).

Answer 1

思路分析：从特例入手，探求2ⁿ与n²的大小关系，也可从y=2^x与y=x²的图象(x＞0)的变化趋势，猜测2ⁿ与n²的大小.

解：当n=1时，2¹＞1²,即2ⁿ＞n²,

当n=2时，2²=2²,即2ⁿ=n²,

当n=3时，2³＜3²,即2ⁿ＜n²,

当n=4时，2⁴=4²，即2ⁿ=n²,

当n=5时，2⁵＞5²,即2ⁿ＞n²,

当n=6时，2⁶＞6²，即2ⁿ＞n²,

……

猜测：当n≥5时,2ⁿ＞n².

下面用数学归纳法证明猜测成立.

(1)当n=5时，由上可知猜测成立.

(2)设n=k(k≥5)时，命题成立，即2^k＞k².

当n=k+1时，2^k+1=2·2^k＞2k²=k²+k²＞k²+(2k+1)=(k+1)²,即n=k+1时命题成立.

由(1)和(2)，可得n≥5时，2ⁿ＞n².