Question

【题目】已知椭圆，焦距为2，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作圆的切线，切点分别为，直线与轴交于点，过点的直线交椭圆于两点，点关于轴的对称点为，求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）3.

【解析】

（1）根据焦距和离心率求，再求即得；

（2）由题意，四点共圆，该圆的方程为，则直线为圆与圆的公共弦所在的直线，求出直线的方程，求出点、点的坐标. 设，则.设直线的方程为，代入椭圆的方程，利用韦达定理、弦长公式就能求出的面积的最大值.

（1）由题意， ，解得，由，解得;

所以椭圆的标准方程为；

（2）由题意，得四点共圆，该圆的方程为，

又圆的方程为，两圆方程相减，得直线的方程为，

令，得，即点的坐标为，则点关于轴的对称点为.

设，则，因此最大， 就最大，

由题意直线的斜率不为零，可设直线的方程为，

由得，

所以，

又直线与椭圆交于不同的两点，则，即，

，

令，则，

令，则函数在上单调递增，

即当时， 在上单调递增，因此有；

所以，当时取等号.

故面积的最大值为3