Question

【题目】已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小.

(1)求曲线的方程；

(2)设为曲线上任意一点，点，问是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆是的弦长恒为定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)存在，直线的方程为，定值为

【解析】

(1)根据题意可知，曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等，结合抛物线的定义，即可得到答案；

(2) 设直线方程为，，直线与以为直径的圆的交点为，，因为直线垂直于轴，故弦长为，因此根据圆的直径式方程写出以为直径的圆的方程将代入，利用根与系数关系求出，代入弦长，可求得，令即可得到答案．

(1)依题意得，曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等.

所以曲线的方程为：.

(2)假设满足条件的直线存在，其方程为，，

则以为直径的圆的方程为，

将直线方程代入，得，

则.

设直线与以为直径的圆的交点为，，

则，，

于是有.

当，即时，为定值.

故满足条件的直线存在，其方程为.