Question

已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）及数列{a_n}．
使得2，f（a₁），f（a₂），…，f（a₁），2n+4构成等差数列（n=1，2，…）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n，当0＜a＜1时，求

lim

n→∞

Sn；
（Ⅲ）若b_n=a_n•f（a_n），当a＞1时，试比较b_n与b_n+1的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，则2n+4=2+[（n+2）-1]•d，故d=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由a≠1，知Sn=a4+a6+a8+…+a2n+2=

a4(1-a2n)

1-a2

，由

lim

n→∞

a2n=0，能求出求

lim

n→∞

Sn．
（Ⅲ）由b_n=a_nf（a_n）=a²ⁿ⁺²（2n+2）＞0，知

bn+1

bn

=

(2n+4)a2n+4

(2n+2)a2n+2

=

(n+2)

(n+1)

•a2＞1，由此能够推导出b_n+1＞b_n．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
∵f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
2，f（a₁），f（a₂），…，f（a₁），2n+4构成等差数列（n=1，2，…）．
∴2n+4=2+[（n+2）-1]•d，
∴d=2…（2分）
故f（a_n）=2+[（n+1）-1]×2=2n+2…（4分）
即f（a_n）=log_aa_n=2n+2
∴a_n=a²ⁿ⁺²（a＞0且 a≠1）…（6分）
（Ⅱ）∵a≠1
∴Sn=a4+a6+a8+…+a2n+2=

a4(1-a2n)

1-a2

…（8分）
∵

lim

n→∞

a2n=0，
∴0＜a＜1，
∴

lim

n→∞

Sn=

a4

1-a2

．…（10分）
（Ⅲ）∵b_n=a_nf（a_n）=a²ⁿ⁺²（2n+2）＞0
因为a＞1且

n+2

n+1

=1+

1

n+1

＞1，
∴

bn+1

bn

=

(2n+4)a2n+4

(2n+2)a2n+2

=

(n+2)

(n+1)

•a2＞1…（13分）
故b_n+1＞b_n…（16分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，数列极限的求法和数列单调性的判断．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．