Question

1．求证：
（1）C${\;}_{n+1}^{1}$+2C${\;}_{n+1}^{2}$+3C${\;}_{n+1}^{3}$+…+（n+1）C${\;}_{n+1}^{n+1}$=（n+1）•2ⁿ．
（2）2＜（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜3（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）利用倒序相加法，即可证明结论；
（2）（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ=C_n⁰+C_n¹×$\frac{1}{n}$+C_n²（$\frac{1}{n}$）²+…+C_nⁿ（$\frac{1}{n}$）ⁿ=1+1+C_n²×$\frac{1}{{n}^{2}}$+C_n³×$\frac{1}{{n}^{3}}$+…+C_nⁿ×$\frac{1}{{n}^{n}}$，利用放缩法证明结论．

解答 证明：（1）S=C${\;}_{n+1}^{1}$+2C${\;}_{n+1}^{2}$+3C${\;}_{n+1}^{3}$+…+（n+1）C${\;}_{n+1}^{n+1}$，
∴S=（n+1）${C}_{n+1}^{n+1}$+n${C}_{n+1}^{n}$+（n-1）${C}_{n+1}^{n-1}$+…+C${\;}_{n+1}^{1}$，
∴2S=（n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴S=n+1）•2ⁿ．
（2）（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ=C_n⁰+C_n¹×$\frac{1}{n}$+C_n²（$\frac{1}{n}$）²+…+C_nⁿ（$\frac{1}{n}$）ⁿ
=1+1+C_n²×$\frac{1}{{n}^{2}}$+C_n³×$\frac{1}{{n}^{3}}$+…+C_nⁿ×$\frac{1}{{n}^{n}}$
=2+$\frac{1}{2!}$×$\frac{n（n-1）}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{3!}$×$\frac{n（n-1）（n-2）}{{n}^{3}}$+…+$\frac{1}{n!}$×$\frac{n（n-1）•…•2•1}{{n}^{n}}$
＜2+$\frac{1}{2!}$+$\frac{1}{3!}$+…+$\frac{1}{n!}$＜2+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=2+$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$=3-（$\frac{1}{2}$）^n-1＜3．
显然（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ=1+1+C_n²×$\frac{1}{{n}^{2}}$+C_n³×$\frac{1}{{n}^{3}}$+…+C_nⁿ×$\frac{1}{{n}^{n}}$＞2．
∴2＜（1+$\frac{1}{n}$）ⁿ＜3（n≥2，n∈N^*）．

点评 本题考查不等式的性质和应用，解题时要注意二项式定理和放缩法的合理运用．