Question

18．已知函数f（x）=（1-x）e^x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x₁）=f（x₂），探究x₁+x₂与0的大小关系，并用代数方法证明之．

Answer 1

分析 （1）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0的x取值范围即可得到单调区间；
（2）当f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）时，不妨设x₁＜x₂．由（I）可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．利用导数先证明：?x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．而x₂∈（0，1），可得f（x₂）＜f（-x₂）．即f（x₁）＜f（-x₂）．由于x₁，-x₂∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上单调递增，因此得证．

解答 解：（1）f′（x）=（1-x）′e^x+（1-x）（e^x）′=-xe^x，
令f′（x）＞0，解得：x＜0，令f′（x）＜0，解得：x＞0，
∴f（x）在（-∞，0）递增，在（0，+∞）递减；
（2）当x＜1时，由于1-x＞0，e^x＞0，得到f（x）＞0；
同理，当x＞1时，f（x）＜0．
当f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）时，不妨设x₁＜x₂．
由（1）可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．
下面证明：?x∈（0，1），f（x）＜f（-x），即证（1-x）e^x＜（1+x）e^-x．
此不等式等价于（1-x）e^x-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$＜0．
令g（x）=（1-x）e^x-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$，则g′（x）=-xe^-x（e^2x-1）．
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．
即（1-x）e^x-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$＜0．
∴?x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．
而x₂∈（0，1），∴f（x₂）＜f（-x₂）．
从而，f（x₁）＜f（-x₂）．
由于x₁，-x₂∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上单调递增，
∴x₁＜-x₂，即x₁+x₂＜0．

点评 本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化问题等基础知识与基本技能，需要较强的推理能力和计算能力．