Question

3．F₁、F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点，P是椭圆上一点，且△PF₁F₂是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 求椭圆的离心率，即求参数a，c的关系，本题中给出了三角形PF₁F₂为等腰直角三角形这一条件，由相关图形知，角P或角F₁或角F₂为直角，不妨令角P或角F₂为直角，则有OP=OF₁，或PF₂=F₁F₂，求出两线段的长度，运用a，b，c的关系和离心率公式，整理即可得到所求的离心率．

解答 解：由△PF₁F₂是等腰直角三角形，
若P为直角顶点，即有OP=OF₁，
即为b=c，即有a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$c，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
若角F₁或角F₂为直角，不妨令角F₂为直角，
此时P（c，y），
代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
又三角形PF₁F₂为等腰直角三角形，得PF₂=F₁F₂，
故得$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，即2ac=a²-c²，
即e²+2e-1=0，解得e=-1±$\sqrt{2}$，
由0＜e＜1可得e=$\sqrt{2}$-1．
故椭圆的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$-1．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查椭圆的方程、性质和应用，解题时要注意分类讨论的思想方法和公式的合理运用．