Question

15．已知x_n-1=$\frac{1}{1+\frac{1}{{x}_{n}}}$（n为1，2，3）．
（1）当x₁=a时，求x₂₀₁₂的值；
（2）当x₁=b时，求x₁×x₂+x₂×x₃+…+x₂₀₁₀×x₂₀₁₁+x₂₀₁₁×x₂₀₁₂的值．

Answer 1

分析 （1）通过对x_n-1=$\frac{1}{1+\frac{1}{{x}_{n}}}$变形可知x_n=$\frac{{x}_{n-1}}{1-{x}_{n-1}}$，通过计算出前几项的值猜想通项公式并利用数学归纳法证明猜想，进而可得结论；
（2）通过（1）裂项可知x_n×x_n+1=b[-$\frac{1}{1-（n-1）b}$+$\frac{1}{1-nb}$]，进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵x_n-1=$\frac{1}{1+\frac{1}{{x}_{n}}}$（n为1，2，3），
∴x_n=$\frac{{x}_{n-1}}{1-{x}_{n-1}}$（n为1，2，3），
∵x₁=a，∴a≠1，
∴x₂=$\frac{a}{1-a}$，x₃=$\frac{\frac{a}{1-a}}{1-\frac{a}{1-a}}$=$\frac{a}{1-2a}$，x₄=$\frac{\frac{a}{1-2a}}{1-\frac{a}{1-2a}}$=$\frac{a}{1-3a}$，
猜想：x_n=$\frac{a}{1-（n-1）a}$．
下面用数学归纳法来证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时命题成立，
则x_k+1=$\frac{{x}_{k}}{1-{x}_{k}}$=$\frac{\frac{a}{1-（k-1）a}}{1-\frac{a}{1-（k-1）a}}$=$\frac{1}{1-ka}$，即当n=k+1时命题成立；
由①、②可知x_n=$\frac{a}{1-（n-1）a}$．
于是x₂₀₁₂=$\frac{a}{1-2011a}$；
（2）由（1）可知：当x₁=b（显然b≠1）时x_n=$\frac{b}{1-（n-1）b}$，
∴x_n×x_n+1=$\frac{b}{1-（n-1）b}$•$\frac{b}{1-nb}$=b[-$\frac{1}{1-（n-1）b}$+$\frac{1}{1-nb}$]，
于是x₁×x₂+x₃×x₄+…+x₂₀₁₀×x₂₀₁₁+x₂₀₁₁×x₂₀₁₂
=b[（-1+$\frac{1}{1-b}$）+（-$\frac{1}{1-b}$+$\frac{1}{1-2b}$）+…+（-$\frac{1}{1-2009b}$+$\frac{1}{1-2010b}$）]
=b（-1+$\frac{1}{1-2010b}$）
=$\frac{2010{b}^{2}}{1-2010b}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，裂项求和是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．