Question

3．已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的椭圆经过点M（1，$\frac{1}{2}$），动点A，B（不与定点M重合）均在椭圆上，且直线MA与MB的斜率之和为1，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求证直线AB经过定点；
（Ⅲ）求△ABO的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可知$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，结合a²=b²+c²，及点$M（1，\frac{1}{2}）$在椭圆上可求a，b进而可求椭圆方程
（Ⅱ）分类讨论：当直线AB与x轴垂直时，易求直线AB的方程；当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立y=kx+m与x²+4y²=2，根据方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，然后结合已知斜率关系即可求直线AB的方程，即可求解；
（Ⅲ） 由（Ⅱ）整理方程可求k的范围，结合弦长公式可求AB，然后利用点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，代入可求△ABO的面积，利用基本不等式可求面积的最大值

解答 解：（Ⅰ）设椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
可知$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，又因为a²=b²+c²，所以a²=4b²．
由定点$M（1，\frac{1}{2}）$在椭圆上可得$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{4{b^2}}}=1$，故${b^2}=\frac{1}{2}$，a²=2．
所以椭圆G的方程为x²+4y²=2．
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，设A（s，t）（s≠1），则B（s，-t）．
由题意得：$\frac{{t-\frac{1}{2}}}{s-1}+\frac{{-t-\frac{1}{2}}}{s-1}=1$，即s=0．所以 直线AB的方程为x=0．
当直线AB不与x轴垂直时，可设直线AB为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将y=kx+m代入x²+4y²=2得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-2=0．
所以 ${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{{4{m^2}-2}}{{1+4{k^2}}}$．
由直线MA与MB的斜率之和为1可得$\frac{{{y_1}-\frac{1}{2}}}{{{x_1}-1}}+\frac{{{y_2}-\frac{1}{2}}}{{{x_2}-1}}=1$①，
将y₁=kx₁+m和y₂=kx₂+m代入①，
并整理得$（2k-1）{x_1}{x_2}+（m-k+\frac{1}{2}）（{x_1}+{x_2}）-2m=0$②，
将${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{{4{m^2}-2}}{{1+4{k^2}}}$代入②
并整理得2km+2m²+2k+m-1=0，
分解因式可得（2k+2m+1）（m+1）=0，
因为直线AB：y=kx+m不经过点$M（1，\frac{1}{2}）$，所以2k+2m+1≠0，故m=-1．
所以直线AB的方程为y=kx-1，经过定点（0，-1）．
综上所述，直线AB经过定点（0，-1）．
（Ⅲ） 由（Ⅱ）可得：△=32k²-8＞0，${k^2}＞\frac{1}{4}$.$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{{2\sqrt{2}•\sqrt{4{k^2}-1}}}{{4{k^2}+1}}$．
因为 坐标原点O到直线AB的距离为$\frac{1}{{\sqrt{1+k{\;}^2}}}$，
所以△ABO的面积$S=\frac{{\sqrt{2}•\sqrt{4{k^2}-1}}}{{4{k^2}+1}}$（${k^2}＞\frac{1}{4}$）．
令$\sqrt{4{k^2}-1}=t$，则t＞0，且$S=\frac{{\sqrt{2}t}}{{{t^2}+2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{t+\frac{2}{t}}}≤\frac{{\sqrt{2}}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}$，
当且仅当$t=\sqrt{2}$，即$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时，△ABO的面积S取得最大值$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆方程，直线与椭圆位置关系的综合应用，试题具有一定的综合性，对计算能力的要求较强．