在平面直角坐标系xOy中.直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ .又以O为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C极坐标方程为:ρ2-4ρsinθ=4.直线l与曲线C交于A.B两点．(1)求直线l的普通方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （t为参数），又以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为：ρ²-4ρsinθ=4，直线l与曲线C交于A，B两点．
（1）求直线l的普通方程及曲线C的平面直角坐标方程；
（2）求线段AB的长．

分析（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （t为参数）消去t，得：直线l的普通方程，又将ρ²=x²+y²，ρsinθ=y代入ρ²-4ρsinθ=4可得曲线C的平面直角坐标方程．
（2）将直线l的方程代入x²+（y-2）²=8得：t²-2t-4=0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．

解答解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$ （t为参数）消去t，得：直线l的普通方程为$\sqrt{3}x-y+2\sqrt{3}+2=0$，
又将ρ²=x²+y²，ρsinθ=y代入ρ²-4ρsinθ=4得
曲线C的平面直角坐标方程为x²+（y-2）²=8．
（2）将直线l的方程代入x²+（y-2）²=8得：t²-2t-4=0，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则 t₁+t₂=2，t₁•t₂=-4，
∴$|{AB}|=\left|{\;}\right.{t_1}-{t_2}\left.{\;}\right|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=2\sqrt{5}$．

点评本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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