Question

已知函数y=f(x)满足a=(x²,y),b=(x,-1),且a·b=-1.

如果存在正项数列{a_n}满足:a₁=,f(a₁)+f(a₂)+f(a₃)+…+f(a_n)-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n(n∈N^*).

(1)求数列{a_n}的通项;

(2)求证:+++…+＜1;

(3)求证:+++…+＜1+.

Answer 1

(1)解:∵a·b=-1,∴y=f(x)=x³-x+1(x≠0).

∵f(a₁)+f(a₂)+f(a₃)+…+f(a_n)-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n(n∈N^*),

∴代入得a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²a_n.①

又a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=(n-1)²a_n-1,②

①-②,得.则a_n=···…·(n∈N^*).

(2)证明:由(1)得()=-()＜-()=(

-)+()(i＞1).∴+++…+＜+［()-()］+［()-()］+［())］+…+［()-()］=+-()=1+=1＜1.

(3)证明:由(1)得＜=,

∴＜,而=＜·＜

·=(i≥2).

∴+…+＜+()+()+…+()＜+1+＜1+.