Question

已知定义域为R的偶函数f（x）=a^x+b•a^-x（a＞0，a≠1，b∈R）．
（1）求实数b的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若对任意x∈[2，4]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意可得，f（-x）=f（x），可得 a^-x+b•a^x =a^x+b•a^-x ，∴（b-1）（a^x-a^-x）=0，解得 b=1．…（3分）
（2）设0≤x₁＜x₂，∵=
==，
当a＞1时，，可得f（x₁）＜f（x₂），故f（x）为[0，+∞）上的增函数．
当a＜1时，，可得f（x₁）＜f（x₂），f（x）为[0，+∞）上的增函数．
综上可得，当a＞0，a≠1时，f（x）为[0，+∞）上的增函数．…（7分）
（3）对任意x∈[2，4]恒成立，等价于 对任意x∈[2，4]恒成立，
等价于 对任意x∈[2，4]恒成立，
等价于对任意x∈[2，4]恒成立．
令t=log₂x，问题等价于-t²+3t-1≤m≤t²+t+1对任意t∈[1，2]恒成立．
由于函数-t²+3t-1在[1，2]上的最大值为，t²+t+1在[1，2]上的最小值为 3，
故问题等价于 ，故实数m的取值范围为[，3]．…（12分）
分析：（1）由题意可得，f（-x）=f（x），化简可得（b-1）（a^x-a^-x）=0，由此解得 b的值．
（2）设0≤x₁＜x₂，化简f（x₁）-f（x₂）为 ，当a＞1时，可得f（x₁）＜f（x₂），故f（x）为[0，+∞）上的增函数．当a＜1时，可得
f（x₁）＜f（x₂），f（x）为[0，+∞）上的增函数．
（3）条件等价于对任意x∈[2，4]恒成立．令t=log₂x，等价于-t²+3t-1≤m≤t²+t+1对任意t∈[1，2]恒成立，求得-t²+3t-1在[1，2]上的最大值和 t²+t+1在[1，2]上的最小值，即可求得实数m的取值范围．
点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，对数函数的性质应用，以及函数的恒成立问题，属于中档题．