Question

设函数f(x)=

1

3

ax3+bx2+cx(a＜b＜c)，其图象在点A（1，f（1）），B（m，f（m））处的切线的斜率分别为0，-a．
（1）求证：0≤

b

a

＜1；
（2）若函数f（x）的递增区间为[s，t]，求|s-t|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数f′（x）=ax²+2bx+c，依题意有f′（1）=a+2b+c=0，f'（m）=am²+2bm+c=-a，结合a＜b＜c，即可得-

1

3

＜

b

a

＜1，将c=-a-2b代入f′（m）=am²+2bm+c=-a得am²+2bm-2b=0，即方程ax²+2bx-2b=0有实根，故其判别式△=4b²+8ab≥0，从而可得

b

a

≤-2或

b

a

≥ 0，故问题得证；
（2）由于f'（x）=ax²+2bx+c的判别式△′=4b²-4ac＞0，所以方程a²+2bx+c=0有两个不相等的实数根，设为x₁，x₂，
由于f′（1）=a+2b+c=0知1是（*）的一个根，记x₁=1，利用根与系数的关系，可知函数f（x）的单调递增区间为[x₂，1]，从而[x₂，1]=[s，t]，进而可得|s-t|=|1-x2|=2+

2b

a

，利用0≤

b

a

＜1，可求|s-t|的范围．

解答：（1）证明：因为f′（x）=ax²+2bx+c…（1分）
于是依题意有f′（1）=a+2b+c=0，①…（1分）
f′（m）=am²+2bm+c=-a，②…（1分）
又由a＜b＜c，可得4a＜a+2b+c＜4c，即4a＜0＜4c，所以a＜0，c＞0，
由①得c=-a-2b，
∵a＜b＜c，a＜0
∴-

1

3

＜

b

a

＜1③…（2分）
将c=-a-2b代入②得am²+2bm-2b=0，即方程ax²+2bx-2b=0有实根，故其判别式△=4b²+8ab≥0，
由此可得(

b

a

)2+2(

b

a

)≥0，
解得

b

a

≤-2或

b

a

≥ 0④…（2分）
由③、④即可得0≤

b

a

＜1；　　…（1分）
（2）解：由于f′（x）=ax²+2bx+c的判别式△′=4b²-4ac＞0，…（1分）
所以方程a²+2bx+c=0（*）有两个不相等的实数根，设为x₁，x₂，
又由f′（1）=a+2b+c=0知1是（*）的一个根，记x₁=1，…（1分）
则由根与系数的关系得1+x2=-

2b

a

，即x2=-1-

2b

a

＜0＜x1，
当x＜x₂或x＞1时，f'（x）＞0；当x₂＜x＜1时，f'（x）＞0，…（1分）
所以函数f（x）的单调递增区间为[x₂，1]
由题设[x₂，1]=[s，t]，…（1分）
因此|s-t|=|1-x2|=2+

2b

a

，
由（1）知0≤

b

a

＜1，所以|s-t|∈[2，4）．…（1分）

点评：本题考查的重点是导数知识的运用，考查不等式的证明，考查函数的单调性，同时考查了根与系数关系的运用，综合性强．