Question

已知等差数列{a_n}为递增数列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和Tn=1-

1

2

bn．
（1）分别写出数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n+1b_n+1，求证：数列{c_n}为递减数列．

Answer 1

分析：（1）通过解二次方程求出方程的两个根，据数列{a_n}为递增数列为递增数列，求出a₂，a₅，利用等差数列的通项公式求出
数列{a_n}的公差，利用等差数列推广的通项公式求出其通项，利用数列{b_n}的前n项和与通项的关系求出数列{b_n}的通项．
（2）求出数列{c_n}的通项，求出c_n+1-c_n的差，判断出差的符号，得证．

解答：解：（1）由题意得a₂=3，a₅=9
公差d=

a5-a2

5-2

=2
所以a_n=a₂+（n-2）d=2n-1
由Tn=1-

1

2

bn得
当n=1时b1=

2

3

当n≥2时bn=Tn-Tn-1=

1

2

bn-1-

1

2

bn
得bn=

1

3

bn-1
所以bn=

2

3n

（2）由（1）得cn=

4n+2

3n+1

∴cn+1-cn=

4n+6

3n-1

-

4n+2

3n+1

=

-8n

3n+2

＜0
数列{c_n}减数列

点评：解决等差、等比两个特殊数列，常利用等差、等比两个数列的通项公式及前n项和公式，列出关于基本量的方程组，解方程组求解．