Question

【题目】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （φ为参数，0≤φ≤π），曲线C2的参数方程为 （t为参数）．
（1）求C1的普通方程并指出它的轨迹；
（2）以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM：θ= 与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C1的参数方程为 （φ为参数，0≤φ≤π），

消去参数φ可得普通方程：（x﹣2）2+y2=4．

∵0≤φ≤π，

∴0≤x≤4，0≤y≤2．

∴它表示上半圆，其图象在x轴的上方及其x轴上的两点（0，0），（4，0）．

（2）解：由半圆C：（x﹣2）2+y2=4，（0≤y≤2）化为极坐标方程：ρ=4cosθ，θ∈ ，

把 代入可得ρ=4 =2 ，

∴|OP|=2 ．

曲线C2的参数方程为 （t为参数），

消去参数t化为普通方程：x+y=6，

可得极坐标方程：ρcosθ+ρsinθ=6，

把θ= 代入可得：ρ= =3 =|OQ|．

∴|PQ|=|OQ|﹣|OP|=3 ﹣2 = ．

【解析】（1）曲线C1的参数方程为 （φ为参数，0≤φ≤π），消去参数φ可得普通方程，注意y的取值范围．（2）由半圆C：（x﹣2）2+y2=4，（0≤y≤2）化为极坐标方程：ρ=4cosθ，θ∈ ，把 代入可得|OP|．曲线C2的参数方程为 （t为参数），消去参数t化为普通方程，进而得到极坐标方程，把θ= 代入可得：|OQ|．利用|PQ|=|OQ|﹣|OP|即可得出．