【题目】某粮库拟建一个储粮仓如图所示,其下部是高为2的圆柱,上部是母线长为2的圆锥,现要设计其底面半径和上部圆锥的高,若设圆锥的高为,储粮仓的体积为.
(1)求关于的函数关系式;(圆周率用表示)
(2)求为何值时,储粮仓的体积最大.
【答案】(Ⅰ), .(Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题圆锥和圆柱的底面半径, 可得储粮仓的体积, .
(Ⅱ)利用导数求(Ⅰ)中的函数最值即可.
试题解析:(Ⅰ)∵圆锥和圆柱的底面半径, ∴.
∴,即, .
(Ⅱ),令 ,
解得, .又,∴(舍去).
当变化时, 的变化情况如下表:
故当时,储粮仓的体积最大.
点晴:研究数学模型,建立数学模型,进而借鉴数学模型,对提高解决实际问题的能力,以及提高数学素养都是十分重要的.建立模型的步骤可分为: (1) 分析问题中哪些是变量,哪些是常量,分别用字母表示; (2) 根据所给条件,运用数学知识,确定等量关系; (3) 写出f(x)的解析式并指明定义域.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (φ为参数,0≤φ≤π),曲线C2的参数方程为 (t为参数).
(1)求C1的普通方程并指出它的轨迹;
(2)以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,射线OM:θ= 与半圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
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【题目】已知直线a、b和平面,下列说法中正确的有______ .
若,则;
若,则;
若,则;
若直线,直线,则;
若直线a在平面外,则;
直线a平行于平面内的无数条直线,则;
若直线,那么直线a就平行于平面内的无数条直线.
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【题目】已知椭圆C: + =1(α>b>0)的右焦点到直线x﹣y+3 =0的距离为5,且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)在x轴上是否存在点Q,使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点,且满足 + 为定值?若存在,请求出定值,并求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直线于点.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若,
求证:直线过定点;
(ii)试问点能否关于轴对称?若能,求出此时的外接圆方程;若不能,请说明理由.
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