【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
.如图所示,斜率为
且不过原点的直线
交椭圆
于
两点,线段
的中点为
,射线
交椭圆
于点
,交直线
于点
.
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若,
求证:直线过定点;
(ii)试问点能否关于
轴对称?若能,求出此时
的外接圆方程;若不能,请说明理由.
【答案】(1)2,(2) (i)见解析(ii)
【解析】试题分析:(Ⅰ)设,联立直线和椭圆方程,消去
,得到关于
的一元二次方程,利用韦达定理,求出点
的坐标和
所在直线方程,求点
的坐标,利用基本不等式即可求得
的最小值;
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知所在直线方程,和椭圆方程联立,求得点
的坐标,并代入若
,得到
,因此得证直线过定点;
(ii)若点关于
轴对称,写出点
的坐标,求出
的外接圆的圆心坐标和半径,从而求出
的外接圆方程.
试题解析:(Ⅰ)由题意:设直线,
由消y得:
,设A
、B
,AB的中点E
,则由韦达定理得:
=
,即
,
,所以中点E的坐标为E
,因为O、E、D三点在同一直线上,所以
,即
,解得
,所以
=
,当且仅当
时取等号,即
的最小值为2.
(Ⅱ)(i)证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由
得交点G的纵坐标为
,又因为
,
,且
,所以
,又由(Ⅰ)知:
,所以解得
,所以直线
的方程为
,即有
,令
得,y=0,与实数k无关,所以直线
过定点(-1,0).
(ii)假设点,
关于
轴对称,则有
的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,
由(i)知点G(,所以点B(
,又因为直线
过定点(-1,0),所以直线
的斜率为
,又因为
,所以解得
或6,又因为
,所以
舍去,即
,此时k=1,m=1,E
,AB的中垂线为2x+2y+1=0,圆心坐标为
,G(
,圆半径为
,圆的方程为
.综上所述,点
,
关于
轴对称,此时
的外接圆的方程为
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【题目】某粮库拟建一个储粮仓如图所示,其下部是高为2的圆柱,上部是母线长为2的圆锥,现要设计其底面半径和上部圆锥的高,若设圆锥的高为
,储粮仓的体积为
.
(1)求关于
的函数关系式;(圆周率用
表示)
(2)求为何值时,储粮仓的体积最大.
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【题目】如图,过圆O外一点P作圆的切线PC,切点为C,割线PAB、割线PEF分别交圆O于A与B、E与F.已知PB的垂直平分线DE与圆O相切.
(1)求证:DE∥BF;
(2)若 ,DE=1,求PB的长.
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【题目】“双曲线的方程为 ”是“双曲线的渐近线方程为
”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】双曲线的方程为,则渐近线方程为
,渐近线方程为:
,反之当渐近线方程为
时,只需要满足
,等轴双曲线即可.故选择充分不必要条件.
故答案为:A.
【题型】单选题
【结束】
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【题目】如图,为测量河对岸塔 的高,先在河岸上选一点
,使
在塔底
的正东方向上,在点
处测得
点的仰角为
,再由点
沿北偏东
方向走
到位置
,测得
,则塔
的高是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C对边分别为a,b,c,且c<a,已知 =﹣2,tanB=2
,b=3.
(1)求a和c的值;
(2)求sin(B﹣C)的值.
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【题目】在如图所示的几何体中,四边形为正方形,四边形
为直角梯形,
,
.
(1)求与平面
所成角的正弦值;
(2)线段或其延长线上是否存在点
,使平面
平面
?证明你的结论.
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