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    已知a>0，n为正整数．（1）设y=(x-a)n，证明y¢=(x-a)n-1；

    （2）设fn(x)=xn-(x-a)n，对任意n³a，证明f¢n+1(n+1)>(n+1)f¢n(n)．

     

    答案：
    解析：

    证明：（1）因为(x-a)n=，

    所以y¢=．

    （2）对函数fn(x)=xn-(x-a)n求导数：fn¢(x)=nxn-1-n(x-a)n-1，所以fn¢(n)=n[nn-1-(n-a) n-1]．

    当x³a>0时，fn¢(x)>0．∴ 当x³a时，fn(x)=xn-(x-a)n是关于x的增函数．

    因此，当x³a时，(n+1)n-(n+1-a)n>nn-(n-a)∴

    fn+1¢(n+1)=(n+1)[(n+1)n-(n+1-a)n]>(n+1)[nn-n(n-a)n]>(n+1)[nn-n(n-a)n-1]=(n+1)fn¢(n)．即对任意n³a，fn+1¢(n+1)>(n+1)fn¢(n)．

     


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