Question

已知a>0，n为正整数．

（1）设y=(x-a)ⁿ，证明y¢=n(x-a)^n-1；

（2）设f_n(x)=xⁿ-(x-a)ⁿ，对任意n³a，证明f¢_n+1(n+1)>(n+1)f¢_n(n)

Answer 1

答案：
解析：

本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力． 证明：（1）因为， 所以． （2）对函数fn(x)=xn-(x-a)n求导数： f¢n(x)=nxn-1-n(x-a)n-1，所以f¢n(n)=n[nn-1-(n-a)n-1]． 当x³a>0时，fn¢(x)>0，∴ 当x³a时，fn(x)=xn-(x-a)n是关于x的增函数． 因此，当n³a时，(n+1)n-(n+1-a)n>nn-(n-a)n ∴ f¢n+1(n+1)=(n+1)［(n+1)n-(n+1-a)n］>(n+1)(nn-(n-a)n) >(n+1)(nn-(n-a)n-1)=(n+1)fn¢(n)． 即对任意n³a，f¢n+1(n+1)>(n+1)f¢n(n)．