Question

已知函数，f（x）=x³+bx²+cx+d在点（0，f（0））处的切线方程为2x-y-1=0．
（1）求实数c，d的值；
（2）若过点P（-1，-3）可作出曲线y=f（x）的三条不同的切线，求实数b的取值范围；
（3）若对任意x∈[1，2]，均存在t∈（1，2]，使得et-lnt-4≤f（x）-2x，试求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由点（0，f（0））在切线上得f（0）=-1，且f′（0）=2，联立可解得c，d；
（2）设切点为Q（x₀，y₀），易求切线方程，把点P（-1，-3），代入并整理得x0[2x02+(b+3)x0+2b]=0，由题意，方程2x02+(b+3)x0+2b=0有两个不同的非零实根，据此得到不等式组，解出可得b的范围；
（3）不等式et-lnt-4≤f（x）-2x，即et-lnt≤x³+bx²+3，由题意可知，et-lnt的最小值应小于或等于x³+bx²+3对任意x∈[1，2]恒成立，构造函数h（t）=et-lnt，用导数可求得h（t）_min，分离参数后再构造函数，转化为求函数最值即可；

解答：（1）f'（x）=3x²+2bx+c，由题意得，切点为（0，-1），
则

f′(0)=2 f(0)=-1

，解得

c=2 d=-1

． 
（2）设切点为Q（x₀，y₀），则切线斜率为k=3x02+2bx0+2，y0=x03+bx02+2x0-1，
所以切线方程为y=(3x02+2bx0+2)(x-x0)+y0，即y=(3x02+2bx0+2)x-2x03-bx02-1，
又切线过点P（-1，-3），代入并整理得x0[2x02+(b+3)x0+2b]=0，
由题意，方程2x02+(b+3)x0+2b=0有两个不同的非零实根，
所以

(b+3)2-16b＞0 2b≠0

，解得

b＜1或b＞9 b≠0

，
故实数b的取值范围为（-∞，0）∪（0，1）∪（9，+∞）．   
（3）由（1）知，f（x）=x³+bx²+2x-1，则不等式et-lnt-4≤f（x）-2x，即et-lnt≤x³+bx²+3，
由题意可知，et-lnt的最小值应小于或等于x³+bx²+3对任意x∈[1，2]恒成立，
令h（t）=et-lnt（1＜t≤2），则h′(t)=e-

1

t

=

et-1

t

＞0，
∴h（t）在（1，2]上递增，因此，h（t）＞h（1）=e．                    
∴e≤x³+bx²+3对任意x∈[1，2]恒成立，即b≥

-x3+e-3

x2

对任意x∈[1，2]恒成立，
令g（x）=

-x3+e-3

x2

（1≤x≤2），则g′（x）=

-x3+6-2e

x3

＜0，
∴g（x）在[1，2]上单调递减，∴g（x）的最大值为g（1）=

-13+e-3

12

=e-4，
∴b≥e-4．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生综合运用知识解决问题的能力．