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已知 $数学公式$ ，又数列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=2，且其前n项和S_n（n∈N）对所有大于1的自然数n都有S_n=f（S_n-1），求通项公式a_n，并写出推导过程．

解：∵ $\text{[math]}$
=x+2 $\text{[math]}$ +2，
∵S_n=f（S_n-1）S_n=S_n-1+2 $\text{[math]}$ +2a_n-2
=2 $\text{[math]}$
8S_n-1=（a_n-2）²
=a_n²-4a_n+4
8S_n=8S_n-1+8a_n=a_n²+4a_n+4=（（a_n+2）²，
8S_n-1=（a_n-1+2）²．
∴（a_n-2）²=（a_n-1+2）²，
因为a_n＞0，
所以a_n-2=a_n-1+2a_n-a_n-1=4，
即公差为4的等差数列，
∴a_n=4n-2．
分析：由f（x）=x+2 $\text{[math]}$ +2，S_n=f（S_n-1）S_n=S_n-1+2 $\text{[math]}$ +2a_n-2=2 $\text{[math]}$ ，知8S_n=8S_n-1+8a_n=a_n²+4a_n+4=（（a_n+2）²，8S_n-1=（a_n-1+2）²．由此能推导出a_n=4n-2．
点评：本题考查数列与函数的综合应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．

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科目：高中数学 来源： 题型：

已知f（x）=（

）²（x≥0），又数列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=2，这个数列的前n项和的公式S_n（n∈N^*）对所有大于1的自然数n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

an+12+an2

2an+1an

（n∈N^*），求证

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n-n）=1．

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科目：高中数学 来源： 题型：

已知函数f（x）定义在区间(-1，1)上，f(

)=-1，对任意x，y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)成立，又数列{a_n}满足a1=

，an+1=

．
（I）在（-1，1）内求一个实数t，使得f(t)=2f(

)；
（II）求证：数列{f（a_n）}是等比数列，并求f（a_n）的表达式；
（III）设cn=

bn+2，bn=

f(a1)

f(a2)

f(a3)

+…+

f(an)

，是否存在m∈N^*，使得对任意n∈N^*，cn＜

log2m恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

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科目：高中数学 来源： 题型：

已知递增的等比数列{a_n}，前三项之积为512，且这三项分别减去1，3，9后又成等差数列，求数列{a_n}的通项公式．

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科目：高中数学 来源： 题型：

对于无穷数列{x_n}和函数f（x），若x_n+1=f（x_n）（n∈N₊），则称f（x）是数列{x_n}的母函数．
（Ⅰ）定义在R上的函数g（x）满足：对任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且g(

)=1；又数列{a_n}满足：an=g(

)．
求证：（1）f（x）=x+2是数列{2ⁿa_n}的母函数；
（2）求数列{a_n}的前项n和S_n．
（Ⅱ）已知f(x)=

2012x+2

x+2013

是数列{b_n}的母函数，且b₁=2．若数列{

bn-1

bn+2

}的前n项和为T_n，求证：25(1-0.99n)＜Tn＜250(1-0.999n)(n≥2)．

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已知，又数列{an}（an＞0）中，a1=2，且其前n项和Sn（n∈N）对所有大于1的自然数n都有Sn=f（Sn-1），求通项公式an，并写出推导过程．

已知 $数学公式$ ，又数列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=2，且其前n项和S_n（n∈N）对所有大于1的自然数n都有S_n=f（S_n-1），求通项公式a_n，并写出推导过程．