练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知函数f（x）定义在区间(-1，1)上，f(
    1
    2
    )=-1    ，对任意x，y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(
    x+y
    1+xy
    )    成立，又数列{an}满足a1=
    1
    2
    ，an+1=
    2a
    1+
    a
    2
    n
    ．
    （I）在（-1，1）内求一个实数t，使得f(t)=2f(
    1
    2
    )    ；
    （II）求证：数列{f（an）}是等比数列，并求f（an）的表达式；
    （III）设cn=
    n
    2
    bn+2，bn=
    1
    f(a1)
    +
    1
    f(a2)
    +
    1
    f(a3)
    +…+
    1
    f(an)
    ，是否存在m∈N*，使得对任意n∈N*，cn＜
    6
    7
    lo
    g
    2
    2
    m-
    18
    7
    log2m    恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
    分析：（I）由f(t)=2f(
    1
    2
    )=f(
    1
    2
    )+f(
    1
    2
    )=f(
    1
    2
    +
    1
    2
    1+
    1
    2
    ×
    1
    2
    )=f(
    4
    5
    )    ，能求出实数t．
    （II）由f(a1)=f(
    1
    2
    )=-1    ，且f(x)+f(y)=f(
    x+y
    1+xy
    )    ，知
    f(an+1)
    f(an)
    =2    ，由此能够证明数列{f（an）}是等比数列，并能求出f（an）的表达式．
    （III）由bn=-(1+
    1
    2
    +
    1
    22
    +…+
    1
    2n-1
    )=-
    1-
    1
    2n
    1-
    1
    2
    =-2+
    1
    2n-1
    ，知cn=
    n
    2
    bn+2=-n+
    n
    2n
    +2    ，则cn+1-cn=-(n+1)+
    n+1
    2n+1
    +2-[-n+
    n
    2n
    +2]    ＜0，故{cn}是减数列，由此能够推导出存在m∈N*，使得对任意n∈N*，cn＜
    6
    7
    lo
    g
    2
    2
    m-
    18
    7
    log2m    恒成立．
    解答：解：（I）f(t)=2f(
    1
    2
    )=f(
    1
    2
    )+f(
    1
    2
    )=f(
    1
    2
    +
    1
    2
    1+
    1
    2
    ×
    1
    2
    )=f(
    4
    5
    )    ，
    ∴t=
    4
    5
    …（2分）
    （II）∵f(a1)=f(
    1
    2
    )=-1    ，
    且f(x)+f(y)=f(
    x+y
    1+xy
    )    ，
    ∴f(an+1)=f(
    2an
    1+
    a
    2
    n
    )=f(an)+f(an)=2f(an)    ，

    即
    f(an+1)
    f(an)
    =2
    ∴{f（an）}是以-1为首项，2为公比的等比数列，
    ∴f(an)=-2n-1．…（6分）
    （III）由（II）得，bn=-(1+
    1
    2
    +
    1
    22
    +…+
    1
    2n-1
    )=-
    1-
    1
    2n
    1-
    1
    2
    =-2+
    1
    2n-1
    …（8分）
    ∴cn=
    n
    2
    bn+2=-n+
    n
    2n
    +2    ，…（9分）
    则cn+1-cn=-(n+1)+
    n+1
    2n+1
    +2-[-n+
    n
    2n
    +2]
    =
    n+1
    2n+1
    -
    n
    2n
    -1
    =
    1-n
    2n+1
    -1    ＜0，
    ∴{cn}是减数列，
    ∴cn≤c1=-1+
    1
    2
    +2=
    3
    2
    ，
    要使7cn＜6log2 2m-18log2m对任意n∈N*恒成立，
    只需6log22m-18log2m＞
    21
    2
    ，
    即4log 22m-12log2m-7＞0，
    故log2m＜-
    1
    2
    ，或log2m＞
    7
    2
    ，
    ∴0＜m＜
    		2
    2
    ，或m＞8
    		2
    ≈11.31    ，
    ∴当m≥12，且m∈N*时，7cn＜6log2 2m-18log2m对任意n∈N*恒成立，
    ∴m的最小正整数值为12．
    点评：本题考查数列与函数的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
    x+y
    1+xy
    )    ，且当x＜0时，f（x）＞0．
    （Ⅰ）验证函数f(x)=ln
    1-x
    1+x
    是否满足这些条件；
    （Ⅱ）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）定义在R上，并且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y时，f（x）≠f（y），x＞0时，有f（x）＞0．
    （1）判断f（x）的奇偶性；
    （2）若f（1）=1，解关于x的不等式f(x)-f(
    1x-1
    )≥2    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•连云港二模）已知函数f（x）定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，则f（2009）=
    4018
    4018
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（
    1
    2
    ）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（
    x-y
    1-xy
    ），又数列{an}满足：a1=
    1
    2
    ，an+1=
    2an
    1+
    a
    2
    n
    ．
    （I）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
    （II）求f（an）关于n的函数解析式；
    （III）令g（n）=f（an）且数列{an}满足bn=
    1
    g(n)
    ，若对于任意n∈N+，都有b1+b2+…+bn＜t2-3t恒成立，求实数t的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）定义在R上，对任意的x∈R，f(x+1001)=
    2
    		f(x)
    +1
    ，已知f（11）=1，则f（2013）=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案