Question

12．已知n=9$\int_{-1}^1{x^2}$dx，在二项式${（x-\frac{2}{x}）^n}$的展开式中，x²的系数是60．

Answer 1

分析 运用定积分公式，求得n=6，再求二项式的通项公式，化简整理，解方程可得r，进而得到所求系数．

解答 解：n=9$\int_{-1}^1{x^2}$dx=9×$\frac{1}{3}$x³|${\;}_{-1}^{1}$=9×$\frac{2}{3}$=6，
二项式（x-$\frac{2}{x}$）⁶的展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{6}^{r}$x^6-r（-$\frac{2}{x}$）^r=${C}_{6}^{r}$x^6-2r（-2）^r，r=0，1，2，…，6，
令6-2r=2，解得r=2，
则x²的系数是${C}_{6}^{2}$（-2）²=60．
故答案为：60．

点评 本题考查二项式定理的运用：求指定项的系数，同时考查定积分的运算，属于基础题．