Question

在锐角△ABC中，满足2cos²

A

2

=

3

sin A；（1）求角A的大小；（2）求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式右边利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出tan

A

2

的值，即可确定出A的度数；
（2）由A的度数得到B+C的度数，用B表示出C，代入sinB+sinC中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出范围即可．

解答： 解：（1）∵2cos²

A

2

=

3

sinA=2

3

sin

A

2

cos

A

2

，且cos

A

2

≠0，
∴cos

A

2

=

3

sin

A

2

，即tan

A

2

=

3

3

，
∴

A

2

=

π

6

，即A=

π

3

；
（2）∵A=

π

3

，
∴B+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-B，
∴sinB+sinC=sinB+sin（

2π

3

-B）=sinB+

3

2

cosB+

1

2

sinB=

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

（

3

2

sinB+

1

2

cosB）=

3

sin（B+

π

6

），
∵0＜B＜

2π

3

，∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
∴

3

2

＜sin（B+

π

6

）≤1，即

3

2

＜

3

sin（B+

π

6

）≤

3

，
则sinB+sinC的范围为（

3

2

，

3

]．

点评：此题考查了同角三角基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．