Question

（2011•宁波模拟）已知抛物线y=ax²（a＞0），直线l₁、l₂都过点P（1，-2）且都与抛物线相切．
（1）若l₁⊥l₂，求a的值．
（2）直线l₁、l₂与分别与x轴相交于A、B两点，求△PAB面积S的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意直线l₁，l₂的斜率分别设为k₁，k₂，过点P（1，-2）的直线设为y=k（x-1）-2，由

y=k(x-1)-2 y=ax2

，得ax²-kx+k+2=0，由直线l₁、l₂都过点P（1，-2）且都与抛物线相切，知

a≠0 △=k2-4ak-8a=0

，再由l₁⊥l₂，能求出a的值．
（2）l₁的方程是：y=k₁（x-1）-2，令y=0，得x1=

2

k1

+1．l₂的方程：y=k₂（x-1）-2，令y=0，得x2=

2

k2

+1.|AB|=|x1-x2|=|(

2

k  1

+1)-(

2

k2

+1)|=

1+ 2 a

．由此能求出△PAB面积S的取值范围．

解答：解：（1）由题意直线l₁，l₂的斜率存在且不为0，
分别设为k₁，k₂，
过点P（1，-2）的直线设为y=k（x-1）-2，
由

y=k(x-1)-2 y=ax2

，得ax²-kx+k+2=0，
∵直线l₁、l₂都过点P（1，-2）且都与抛物线相切，
∴

a≠0 △=k2-4ak-8a=0

，
∴k₁+k₂=4a，k₁k₂=-8a．
∵l₁⊥l₂，
∴k₁k₂=-8a=-1，
∴a=

1

8

．
（2）l₁的方程是：y=k₁（x-1）-2，令y=0，得x1=

2

k1

+1．
l₂的方程：y=k₂（x-1）-2，令y=0，得x2=

2

k2

+1．
∴|AB|=|x1-x2|=|(

2

k  1

+1)-(

2

k2

+1)|
=2|

1

k1

-

1

k2

|
=2|

k2-k1

k1k2

|
=2

(k1+k2)2-4k1k2 (k1k2)2

=2

16a2+32a 64a2

=

1+ 2 a

．
∴S△ABP=

1

2

|AB|d=

1

2

|x1-x2|•2
=

1+ 2 a

，
∵a＞0，
∴S_△ABP＞1．

点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．