Question

如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，D是AC的中点，已知AB=2，VA=VB=VC=2．
（1）求证：AC⊥平面VOD；
（2）求三棱锥C-ABV的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得VO⊥AB，连接OC，得△VOA≌△VOC，从而VO⊥OC，由此能证明AC⊥平面DOV．
（2）VO是棱锥V-ABC的高，由此能求出棱锥V-ABC的体积．

解答： （1）证明：∵VA=VB，O为AB的中点，
∴VO⊥AB，
连接OC，在△VOA和△VOC中，
OA=OC，VO=VO，VA=VC，
∴△VOA≌△VOC，
∴∠VOA=∠VOC=90°，
∴VO⊥OC，
∵AB∩OC=O，AB?平面ABC，OC?平面ABC，
∴VO⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴AC⊥VO，
又∵VA=VC，D是AC的中点，
∴AC⊥VD，
∵VO?平面VOD，VD?平面VOD，VO∩VD=V，
∴AC⊥平面DOV．
（2）解：由（1）知VO是棱锥V-ABC的高，
且VO=

VA2-AO2

=

3

．
又∵点C是弧的中点，∴CO⊥AB，且CO=1，AB=2，
∴三角形ABC的面积S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

×2×1=1，
∴棱锥V-ABC的体积为V_V-ABC=

1

3

S△ABC•VO
=

1

3

×1×

3

=

3

3

，
故棱锥C-ABV的体积为

3

3

．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．