Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x₀，y₀），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x）=0．若函数f（x）=x³-3x²，则可求出f（

1

2014

）+f（

2

2014

）+f（

3

2014

）+…+f（

4026

2014

）+f（

4027

2014

）的值为

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，-2）对称，即f（x）+f（2-x）=-4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2012对-4和一个f（1）=-2，可得答案．

解答： 解：由题意f（x）=x³-3x²，则f′（x）=3x²-6x，f″（x）=6x-6，
由f″（x₀）=0得x₀=1，而f（1）=-2，故函数f（x）=x³-3x²关于点（1，-2）对称，即f（x）+f（2-x）=-4．
所以f（

1

2014

）+f（

2

2014

）+f（

3

2014

）+…+f（

4026

2014

）+f（

4027

2014

）=[f（

1

2014

）+f（

4027

2014

）]+[f（

2

2014

）+f（

4026

2014

）]+…[f（

2013

2014

）+f（

2015

2014

）]+f（

2014

2014

）=4×2013-2=8050；
故答案为：8050．

点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心得到f（x）+f（2-x）=-4，是解决本题的关键．