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    已知向量
    h
    =(cosB，cosA)    ，
    k
    =(sinA，-sinB)    ，
    h
    •
    k
    =
    3
    5
    sinC    ，其中A、B、C分别是△ABC的三内角．
    （1）求
    tanA
    tanB
    的值；
    （2）求tan（A-B）的最大值．
    分析：（1）由数量积和三角函数公式可得sinAcosB=4sinBcosA，由同角三角函数的基本关系可得
    tanA
    tanB
    =4；（2）由（1）知：tanA=4tanB，必有tanB＞0，又可得tan（A+B）=
    3
    4tanB+
    1
    tanB
    ，由基本不等式的知识可得．
    解答：解：（1）由
    h
    •
    k
    =
    3
    5
    sinC    可得sinAcosB-sinBcosA=
    3
    5
    sinC
    又∵A+B+C=π，sinC=sin（A+B），
    化简得：sinAcosB=4sinBcosA，变形得
    tanA
    tanB
    =4
    （2）由（1）知：tanA=4tanB，必有tanB＞0，
    否则若tanB＜0，则tanA＜0，角AB均为钝角，与三角形的内角矛盾，
    ∴tan(A-B)=
    tanA-tanB
    1+tanAtanB
    =
    3tanB
    1+4tan2B
    =
    3
    4tanB+
    1
    tanB

    由基本不等式可得
    3
    4tanB+
    1
    tanB
    ≤
    3
    2
    		4tanB•
    1
    tanB
    =
    3
    4

    当且仅当4tanB=
    1
    4tanB
    ，即tanB=
    1
    2
    时，tan（A+B）=
    3
    4tanB+
    1
    tanB
    取最大值
    3
    4
    点评：本题考查数量积与三角函数的知识，涉及两角和与差的正切函数以及基本不等式，属中档题．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=2sin(x+
    π
    6
    )-2cosx    ．
    （1）当x∈[
    π
    2
    ，π]    时，若sinx=
    4
    5
    ，求函数f（x）的值；
    （2）当x∈[
    π
    2
    ，π]    时，求函数h(x)=3sin(
    π
    6
    -x)-cos(2x-
    π
    3
    )    的值域；
    （3）把函数y=f（x）的图象按向量
    m
    平移得到函数g（x）的图象，若函数g（x）是偶函数，写出|
    m
    |    最小的向量
    m
    的坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义非零向量
    OM
    =(a，b)    的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量
    OM
    =(a，b)    称为函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
    （1）设h（x）=cos（x+
    π
    6
    ）-2cos（x+a）（a∈R），求证：h（x）∈S；
    （2）求（1）中函数h（x）的“相伴向量”模的取值范围；
    （3）已知点M（a，b）（b≠0）满足：(a-
    		3
    )2+(b-1)2=1    上一点，向量
    OM
    的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M运动时，求tan2x0的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•上海）定义向量
    OM
    =（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为
    OM
    =（a，b）（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
    （1）设g（x）=3sin（x+
    π
    2
    ）+4sinx，求证：g（x）∈S；
    （2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
    （3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）2+y2=1上一点，向量
    OM
    的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：高考真题 题型：解答题

    定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S。
    （1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）∈S；
    （2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
    （3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围。

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量a=(cos(x+)，1)，b=(cos(x+，)，c=(cos(x+)，0)，f(x)=a·b，g(x)=a·c.

    (Ⅰ)要得到了y=f(x)的图像，只需要把g(x)的图像经过怎样的变化?

    (Ⅱ)设h(x)=f(x)+g(x)，求h(x)的最小正周期及单调递增区间.

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