Question

有一个所有棱长均为a的正四棱锥P-ABCD，还有一个所有棱长均为a的正三棱锥，将此三棱锥的一个面与正四棱锥的一个侧面完全重合的黏在一起，得到一个如图所示的多面体；
（1）证明：P，E，B，A四点共面；
（2）求三棱锥A-PDE的体积；
（3）在底面ABCD内找一点M，使EM⊥面PBC，指出M的位置，并说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面的基本性质及推论

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取PB的中点F，连结AF，EF，CF，AC，由已知得∠ACF为二面角P-AB-C的平面角，∠EFC为二面角E-PB-C的平面角，由余弦定理得cos∠AFC=-

1

3

，cos∠EFC=

1

3

，从而∠AFC+∠EFC=π，由此能证明P，E，B，A四点共面．
（2）由已知得AP∥BE，BE∥平面APD，从而V_A-PDE=V_B-APD=V_P-ABD，由此能求出三棱锥A-PDE的体积．
（3）ME⊥平面PBC，交平面PBC于点H，则H为△PBC的重心，由已知得H为△ACE的重心，从而求出M为线段AC的中点．

解答： （1）证明：取PB的中点F，连结AF，EF，CF，AC，
∵棱长均为a的正三棱锥的各面均为正三角形，
∴AF⊥PB，CF⊥PB，且AF=CF=

3

2

a，
∴∠ACF为二面角P-AB-C的平面角，∠EFC为二面角E-PB-C的平面角，
在△AFC中，由余弦定理得：cos∠AFC=

AF2+CF2-AC2

2AF•CF

=-

1

3

，
在△EFC中，由余弦定理得：cos∠EFC=

EF2+CF2-EC2

2EF•CF

=

1

3

，
∴∠AFC+∠EFC=π，
∴P，E，B，A四点共面．
（2）解：∵P，E，B，A四点共面，∠PAB=60°，∠ABE=120°，
∴AP∥BE，BE∥平面APD，
∴三棱锥A-PDE的体积：
V_A-PDE=V_B-APD=V_P-ABD=

1

3

×

1

2

×a×a×

2

2

a=

2

12

a3．
（3）解：∵ME⊥平面PBC，交平面PBC于点H，
则H为△PBC的重心，
连结AC，在△ACE中，∵

CH

HF

=

1

2

，∴H为△ACE的重心，
∴M为线段AC的中点．

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．