Question

一只山羊和一只狼分别在曲线f（x）=2x+

e3

x2

（x＞0）和g（x）=-x²+2ex+m-1上运动．
（1）求山羊到直线y=1的最小距离；
（2）如果山羊没有危险，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导，导函数，带入e，是一个极点，求得f（x）的最小值即可得出结论；
（2）山羊没有危险，就是两个函数相减恒大于零或恒小于零，利用导数求得f（x）的最小值和g（x）的最大值，使得f（x）_min＞g（x）_max，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=2x+

e3

x2

（x＞0），
∴f′（x）=2-

2e3

x3

，
∴x=e是方程的三次方根，
∴当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，
∴当x=e时，f（x）_min=f（e）=3e＞1，
∴山羊到直线y=1的最小距离是3e-1．
（2）∵g（x）=-x²+2ex+m-1，
∴g′（x）=-2x+2e，
∴当x＞e时，g′（x）＜0，当0＜x＜e时，g′（x）＞0，
∴当x=e时，g（x）_max=g（e）=e²+m-1，
又f（e）=3e，
∴由3e＞e²+m-1得m＜-e²+3e+1．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值、最值等知识，数形结合将实际问题转化为求函数的最值问题解决，考查学生的转化划归思想的应用，属于中档题．