Question

设函数f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx．
（Ⅰ）当a=b=

1

2

时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F(x)=f(x)+

1

2

ax2+bx+

a

x

，（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x₀，y₀）处切线的斜率k≤

1

2

恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=-1，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值．

Answer 1

分析：（I）函数的定义域是（0，+∞），把a=b=

1

2

代入函数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可；
（II）即函数F（x）的导数在（0，3]小于或者等于

1

2

恒成立，分离参数后转化为函数的最值；
（III）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程2mf（x）=x²有唯一实数解，得到m所满足的方程，解方程求解m．

解答：解：（I）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=b=

1

2

时，f(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x，f′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

（2′）
令f'（x）=0，解得x=1．（∵x＞0）
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以f（x）的极大值为f(1)=-

3

4

，此即为最大值…（4分）
（II）F(x)=lnx+

a

x

，x∈（0，3]，则有k=F′(x0)=

x0-a

x 2 0

≤

1

2

，在x₀∈（0，3]上恒成立，
所以a≥(-

1

2

x

2 0

+x0)max，x₀∈（0，3]，
当x₀=1时，-

1

2

x

2 0

+x0取得最大值

1

2

，
所以a≥

1

2

…（8分）
（III）因为方程2mf（x）=x²有唯一实数解，所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，
设g（x）=x²-2mlnx-2mx，则g′(x)=

2x2-2mx-2m

x

．
令g'（x）=0，x²-mx-m=0．因为m＞0，x＞0，
所以x1=

m- m2+4m

2

＜0（舍去），x2=

m+ m2+4m

2

，
当x∈（0，x₂）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上单调递减，
当x∈（x₂，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）单调递增
当x=x₂时，g'（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．（12′）
则

g(x2)=0 g′(x2)=0

既

x 2 2 -2mlnx2-2mx2=0 x 2 2 -mx2-m=0.

所以2mlnx₂+mx₂-m=0，因为m＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）
设函数h（x）=2lnx+x-1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x₂=1，即

m+ m2+4m

2

=1，解得m=

1

2

．…（12分）

点评：本题考查导数在研究函数性质、研究不等式和方程问题中的综合运用，试题的难度不大，但考查点极为全面．本题的难点是第三问中方程解的研究，当函数具有极值点时，在这个极值点左右两侧，函数的单调性是不同的，这样就可以根据极值的大小，结合函数图象的变化趋势确定方程解的个数，如本题中函数在定义域内有唯一的极值点，而且是极小值点，也就是最小值点，如果这个最小值小于零，函数就出现两个零点，方程就有两个不同的实数解，只有当这个最小值等于零时，方程才有一个实数解，而最小值等于零的这个极小值点x满足在此点处的导数等于零，函数值也等于零，即我们的解析中的方程组

g(x2)=0 g′(x2)=0

，由这个方程组求解m使用了构造函数通过函数的性质得到x₂的方法也是值得仔细体会的技巧．