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(Ⅰ)设函数f(x)=ln(1+x)-
2x
x+2
,证明:当x>0时,f(x)>0.
(Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽到的20个号码互不相同的概率为p,证明:p<(
9
10
)19
1
e2
分析:(Ⅰ)欲证明当x>0时,f(x)>0,由于f(0)=0利用函数的单调性,只须证明f(x)在[0,+∞)上是单调增函数即可.先对函数进行求导,根据导函数大于0时原函数单调递减即可得到答案.
(Ⅱ)先计算概率P=
A
100
20
10020
,再证明
A
100
20
10020
100×99×…×81
10020
(
9
10
)
19
100
90
(
90
100
)
20
,即证明99×98×…×81<(90)19,最后证明(
9
10
)
19
<e-2,即证(
10
9
)
19
>e2,即证19ln
10
9
>2,即证ln
10
9
2
19
,而这个结论由(1)所得结论可得
解答:(Ⅰ)证明:∵f′(x)=
1
1+x
-
2(x+2)-2x
(x+2)2
=
x2
(x+2) 2(x+1)

∴当x>-1,时f′(x)≥0,
∴f(x)在(-1,+∞)上是单调增函数,
∴当x>0时,f(x)>f(0)=0.
即当x>0时,f(x)>0.
(Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,连续抽取20次,则抽得的20个号码互不相同的概率为P=
A
20
100
10020
,要证P<(
9
10
)
19
1
e2

先证:P=
A
20
100
10020
(
9
10
)
19
,即证
100×99×…×81
10020
100
90
(
90
100
)
20

即证99×98×…×81<(90)19
而99×81=(90+9)×(90-9)=902-92<902
98×82=(90+8)×(90-8)=902-82<902
91×89=(90+1)×(90-1)=902-12<902
∴99×98×…×81<(90)19
即P<(
9
10
)
19

再证:(
9
10
)
19
<e-2,即证(
10
9
)
19
>e2,即证19ln
10
9
>2,即证ln
10
9
2
19

由(Ⅰ)f(x)=ln(1+x)-
2x
x+2
,当x>0时,f(x)>0.
令x=
1
9
,则ln(1+
1
9
)-
2•
1
9
2+
1
9
=ln(1+
1
9
)-
2
19
>0,即ln
10
9
2
19

综上有:P<(
9
10
)
19
1
e2
点评:本题主要考查函数单调性的应用、函数的单调性与导数的关系等,考查运算求解能力,函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识.通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力.
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设函数f(x)=3sin(-2x+
π
4
)
的图象为C,有下列四个命题:
①图象C关于直线x=-
8
对称:
②图象C的一个对称中心是(
8
,0)

③函数f(x)在区间[
π
8
8
]
上是增函数;
④图象C可由y=-3sin2x的图象左平移
π
8
得到.其中真命题的序号是
 

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设函数f(x)=
1
2
x2-tx+3lnx,g(x)=
2x+t
x2-3
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(1)求函数g(x)在区间(-∞,-a)上单调区间,并说明理由;
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设函数f(x)=lnx-
1
2
ax2-bx

(1)当a=b=
1
2
时,求f(x)的最大值;
(2)当a=0,b=-1时,方程2mf(x)=x2有唯一实数解,求正数m的值.

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12
ax2-bx

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(II)当a=0,b=-1时,方程2mf(x)=x2中唯一实数解,求正数m的值.

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2x2x+1
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(1)求函数f(x)在区间[0,1]上的值域;
(2)若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求实数a的取值范围..

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