Question

设函数f(x)=3sin(-2x+

π

4

)的图象为C，有下列四个命题：
①图象C关于直线x=-

5π

8

对称：
②图象C的一个对称中心是(

7π

8

，0)；
③函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

8

]上是增函数；
④图象C可由y=-3sin2x的图象左平移

π

8

得到．其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：对于①，先根据诱导公式进行化简，将x=-

5π

8

代入到函数f（x）中得到f（-

5π

8

）的值为最小值，可判断直线x=-

5π

8

是f(x)=3sin(-2x+

π

4

)的一条对称轴，从而正确；对于②，将x=

7π

8

代入到函数f（x）得到f（

7π

8

）为函数f（x）的一个最大值，进而可知(

7π

8

，0)不是f(x)=3sin(-2x+

π

4

)的对称中心，②不正确；对于③，根据f（

π

8

）=0，f（

3π

8

）=-3可判断函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

8

]上不是增函数，可知③不正确；对于④根据左加右减的原则进行平移可知将y=-3sin2x的图象左平移

π

8

得到得图象不是函数
f（x），故④不正确．

解答：解：∵f(x)=3sin(-2x+

π

4

)=-3sin（2x-

π

4

）
将x=-

5π

8

代入到函数f（x）中得到f（-

5π

8

）=-3sin（-

5π

4

-

π

4

）=-3sin（-

3π

2

）=-3
∴直线x=-

5π

8

是f(x)=3sin(-2x+

π

4

)的一条对称轴，故①正确；
将x=

7π

8

代入到函数f（x）中得到f（

7π

8

）=-3sin（

7π

4

-

π

4

）=-3sin

3π

2

=3
(

7π

8

，0)不是f(x)=3sin(-2x+

π

4

)的对称中心，故②不正确；
∵f（

π

8

）=3sin0=0，f（

3π

8

）=3sin（-

3π

4

+

π

4

）=-3，故函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

8

]上不是增函数
故③不正确；
将y=-3sin2x的图象左平移

π

8

得到y=-3sin2（x+

π

8

）=-3sin（2x+

π

4

）≠f（x）
故④不正确，
故答案为：①．

点评：本题主要考查正弦函数的基本性质--对称性、单调性的应用和三角函数的平移，三角函数的平移的原则是左加右减，上加下减．