Question

设函数f(x)=

3

sin(2x+

π

6

)（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）是否可以由函数f（x）的图象经过平移变换得到一个偶函数的图象？若可以，说明怎样变换得到；若不可以，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦函数的最值，即可求出函数的最小值及取得最小值的对应自变量x取值集合；
（Ⅱ）根据左加右减法则和诱导公式，对解析式进行变形即可．

解答：解：（Ⅰ）∵x∈R∴当sin(2x+

π

6

)=-1时，f(x)min=-

3

，
此时2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ，k∈Z，即x=-

π

3

+kπ，k∈Z，
所以，=（sinθ，2）的最小值为-

3

，此时x 的集合{x|x=-

π

3

+kπ，k∈Z}；
（Ⅱ）可以，
如把函数f(x)=

3

sin(2x+

π

6

)的图象向左平移

π

6

个单位长度，
得到偶函数y=

3

sin[2(x+

π

6

)+

π

6

]=

3

sin(2x+

π

2

)=

3

cos2x的图象．

点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数图象的变换，属于基础题．