Question

设函数f(x)=3sin(ωx+

π

6

)，（ω＞0），x∈（-∞，+∞），且以

π

2

为最小正周期．
（1）求f（0）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）已知f(

α

4

+

π

12

)=

9

5

，求sinαtanα的值．

Answer 1

分析：（1）代入已知关系式即可求得f（0）；
（2）利用正弦函数的周期公式即可求得ω，从而可得f（x）的解析式；
（3）由由f（

α

4

+

π

12

）=

9

5

，可求得cosα的值，从而可求得sinαtanα的值．

解答：解：（1）由题设可知f（0）=3sin（

π

6

）=

3

2

---------（2分）
（2）∵f（x）的最小正周期

π

2

，
∴ω=

2π

π 2

=4----------（5分）
∴f（x）=3sin（4x+

π

6

）-------------（6分）
（3）由f（

α

4

+

π

12

）=3sin（α+

π

3

+

π

6

）=3cosα=

9

5

，…（9分）
∴cosα=

3

5

，sin²α=

16

25

，
∴sinαtanα=

sin2α

cosα

=

16 25

3 5

=

16

15

…（12分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．